Vándalos con clase I

Mientras paseaba por Madrid sin rumbo fijo leí un grafiti en una pared:

"La única verdad es que todo es mentira"

Aún con rechazo hacia el grafiti, agradecí leer esto pues ya tenía algo que pensar en mi caminata. Mi primera impresión fue la de tildar de sinsentido el mensaje aunque, dejando de lado las razones que motivaran al autor a escribirlo, me puse a pensar más profundamente acerca del significado del mismo.hola

No pude evitar buscarle el sentido lógico a la proposición. En el cálculo proposicional, una proposición como la escrita en la pared es susceptible de ser Verdadera o Falsa. Son proposiciones oraciones como las siguientes:

a) "Ana y Braulio son primos"

b) "Si tocas el fuego, te quemas"

c) "Si llueve, el suelo de mi patio se moja"

d) "Las personas pueden respirar debajo de agua"

Suponiendo que Ana y Braulio son primos, que tocamos el fuego sin ningún guante especial, que mi patio no está techado y que no tenemos ninguna bombona de oxígeno, las proposiciones a, b y c son Verdaderas, mientras que la proposición d es Falsa. Es sencillo.

"La única verdad es que todo es mentira" es análoga a las anteriores salvo que tiene un nivel superior de complejidad debido a su autorreferencia. El "todo" mencionado podemos hacerlo corresponder con el conjunto de todas las proposiciones y que por tanto, contiene a ella misma. Es decir, al afirmar que "todo es mentira", también está hablando acerca de su veracidad.

Sin duda, lo que el autor del grafiti quería decir es:

"Del conjunto formado por todas las proposiciones del cálculo proposicional, la única Verdadera es la que asegura que todas esas proposiciones son falsas".

Seguramente, las limitaciones logísticas, de espacio en la pared o de tiempo de ejecución de la fechoría le hicieron simplificar su mensaje.

Pero volviendo a nuestro pequeño estudio, llamemos a esta proposición G (de grafiti, por ejemplo). Para saber si G es Verdadera o Falsa, asignémosle esos valores de antemano y observemos qué consecuencias tienen. Veámoslo más detenidamente:

Si G es Verdadera

"La única verdad es que todo es mentira" es Verdadera. Por un lado, si todo es mentira, como G es parte del conjunto de todas las proposiciones, entonces G tiene que ser necesariamente mentira (o Falsa) por lo que la misma G enuncia.
Por tanto, si partiendo de que G es Verdadera, llegamos a que G es Falsa, entonces G no es Verdadera. Tenemos una contradicción.

Podemos hacer otra interpretación del mensaje grafitero. Hemos asumido que G = "La única verdad es que todo es mentira". Sin embargo, si lo que nuestro enrevesado vándalo de la lógica nos quiso decir es que la única verdad es "que todo es mentira", estaríamos ante la situación de que, dentro del conjunto de todas las proposiciones, la única Verdadera es "que todo es mentira" y el resto son Falsas. Si llamamos G' a "que todo es mentira", tenemos (G' es V) ^ (X != G' => X es F). Es decir, G' es Verdadera y cualquier otra proposición distinta de G' es Falsa.

Con esta interpretación, asumimos que el grafitero nos habla de la veracidad de la proposición G', la cual enuncia, no como en la primera interpretación, en la que el grafitero simplemente plasmaba una proposición G, cuya veracidad no era mencionada.

Sin embargo, volvemos a tener el mismo problema de la autorreferencia con G', ya que, ese "todo" que menciona abarca el conjunto de todas las proposiciones y, con ello, a sí misma. Una vez más, partiendo de que G' es Verdadera, llegamos a que G' es Falsa. Siendo esto así, lo que el autor nos está diciendo sobre G' no es cierto. Encima de vándalo, mentiroso.

Por tanto, no podemos asumir que G o G' sean Verdaderas.

Si G es Falsa

Si "La única verdad es que todo es mentira" es Falso, entonces se deduciría uno de los siguientes enunciados:

Si "que todo es mentira" es verdad, no es la única.

De acuerdo, hay más verdades, pero "todo es mentira" sigue siendo Verdadera y, por tanto, la situación es la misma a lo visto en el apartado anterior, donde vimos "Si G es Verdadera". De modo que este caso no es posible porque, como antes, estaríamos en una contradicción.

Si hay alguna verdad, es distinta a "todo es mentira".

Con esto no sabemos ni siquiera si hay alguna proposición que sea Verdadera aunque sí podemos decir que "todo es mentira" es Falso. Por lo que, si este caso es al que se refería el provocador grafitero, en el conjunto de todas las proposiciones habrá algunas verdaderas (si es que las hay) y otras falsas (al menos una: G), pero no podemos decir cuáles (a parte de G). De modo que no llegamos a una contradicción aunque no tenemos ninguna información útil.

Por tanto, lo único que podemos concluir es que G es Falsa, aunque no sabemos nada más de ninguna otra proposición del resto del conjunto. Así que se puede confirmar que hay una proposición, G, en el conjunto de proposiciones que es falsa. Si hay más proposiciones, no sabemos nada acerca de su veracidad.

Concluyo pues, con gran sorpresa e indignación, que una inocente proposición me ha provocado un gran trabajo mental que no me ha llevado más allá de lo que inicialmente intuía: que la proposición G era Falsa. Pero lo que más me duele es no poder inferir ningún otro tipo de verdad sobre otras proposiciones del conjunto.

Es decir, que nuestro vándalo lo es doblemente: primero por la fechoría de pintar en un edificio y afear la fachada y, segundo, por la gamberrada intelectual. Sí, por provocar un esfuerzo mental en los viandantes incautos ávidos de resolver cualquier enigma que les caiga entre manos sin que, tras ese esfuerzo, se averigüe nada nuevo.

Desde luego, pocos vándalos con tanta clase se habrán visto. Chapeau.