Vándalos con clase II: Llega la paradoja

(...Continuación de Vándalos con clase I...)

Supongamos que el conjunto de todas las proposiciones estuviera formado por una única proposición, G, y recordemos que hemos deducido que G sólo puede ser Falsa. 

También quedamos en que G es equivalente a "La única verdad es que todo es mentira", que equivale a "Del conjunto formado por todas las proposiciones del cálculo proposicional, la única verdadera es que todas esas proposiciones son falsas".

Veamos entonces que nuestro conjunto reducido se corresponde con el "todo" que aparece en G, que es Falsa (o mentira). ¡Horror!. O sea que, "todo" es mentira y G es Falsa: se está diciendo una verdad, al ser todas las proposiciones mentira. Por tanto, vemos que G está afirmando algo que es cierto, por lo que G es Verdadera.

Pero si G es Verdadera, volvemos de nuevo al primer caso que se estudió en este artículo. G sería la única proposición y estaría afirmando de sí misma que es Falsa, lo cual nos lleva una vez más a la contradicción indeseada.

Es decir, que en el caso en que G sea la única proposición de todo el conjunto al que ésta se refiere, G no es ni Verdadera ni Falsa, convirtiéndose en una paradoja digna del mismo Kurt Gödel. 

Con la asunción anterior acerca del conjunto de una sola proposición, vemos que el autor de la pintada ha pasado de ser un simple grafitero a un insigne vándalo. Aunque lo que él afirmaba no era necesariamente una paradoja, pues no decía en ningún momento que su aserción era la única posible. Una sugerencia para convertir su trabajo en una auténtica paradoja sería:

"La única verdad es que todo es mentira.

Además, no existe ninguna otra afirmación."

Sin embargo, la anterior afirmación puede llevar a la confusión. No se sabe si la segunda oración es parte de la proposición o es una meta-afirmación que el autor nos brinda para describir el conjunto que se estudia. Por lo que, vista la dificultad para que se distinga en un simple grafiti las proposiciones de la meta-información, cumpliendo las limitaciones logísticas, de tiempo o de espacio, debemos asumir que la ambigüedad estará presente en el mensaje. De este modo, sugerimos una nueva forma de provocar al peatón con una paradoja que ahorra palabras, digna de una madre dejando claro que no hay nada más que decir al respecto o, en el lenguaje de la lógica, que no existen más proposiciones:

"La única verdad es que todo es mentira.

Y punto."

Como sabemos gracias al teorema de incompletitud de Gödel, las paradojas están presentes en todos los sistemas de representación que poseen cierta complejidad. Es como si un sistema ordenado, con sus reglas perfectamente definidas y sus proposiciones, todas ellas verificables (que pueden ser Verdaderas o Falsas), poseyera de un grupo de proposiciones que traen el caos y la destrucción al sistema mismo. Si no eres ni Verdadera ni Falsa en el sistema, es como si te rebelaras a él trayendo un poco de desorden al mundo.

Lo cual me hace pensar que subestimé inicialmente al grafitero, quien era consciente de las siguientes cosas:

1) Sabía que sería ambigüo escribir algo para que pareciera una paradoja y por eso dejó su frase tal cual, asumiendo que el sistema al que se refería sólo contenía una proposición. Por tanto, la intención original del autor era la de escribir una paradoja.

2) Una paradoja es el elemento o la proposición que se rebela, al no ser ni Verdadera ni Falsa. Simplemente no encaja en el sistema, aunque es inherente al mismo.

Por eso, intuyo que el mensaje que quería transmitir el sutil pintor es uno que se encuentra con bastante más frecuencia por las calles pero de una manera infinitamente más directa:

"¡Anarquía!"

Nota: Sólo quería hacer una breve mención de lo referente a las paradojas, sin desarrollar más el sentido o el origen de las mismas. Sin embargo, para encontrar más información sobre incompletitudes de este tipo, hay que acudir al maravilloso libro Gödel, Escher y Bach: un eterno y grácil bucle, de Douglas Hofstadter, una referencia que no puede faltar en las estanterías de los viandantes que, como yo, se disponen a destripar hasta el mensaje más sencillo plasmado en cualquier muro.